Die Abbildung regelloser Unebenheiten erfordert zum einen die mathematische Formulierung der Unebenheiten sowie eine Bewertung der Charakteristik und Qualität des jeweils abgebildeten Bodens.

Dabei nutzt man die Grundaussage der Fourier-Analysis, dass jegliche Funktion angenähert durch eine Summe aus harmonisch verwandten Sinus- und Cosinusfunktionen darstellbar ist. Im vorliegenden Fall geht man davon aus, dass gleichzeitig Anteile aller Wellenlängen im regellosen Verlauf des Bodenprofils enthalten sind. Zur Datenreduktion und hinsichtlich einer Weiterverarbeitung der Fahrbahnunebenheiten zu Schwingungsgrößen ist die Darstellung der Unebenheiten mit Hilfe der spektralen Dichte vorteilhaft. [Popp1993], [Kortüm1994]

Wird der Verlauf der Unebenheiten eines Bodens als Funktion mit Hilfe der Fourier-Analyse dargestellt, so beschreibt die spektrale Dichte die Dichteverteilung der Frequenzen der zur Darstellung verwendeten harmonischen Schwingungsfunktionen. In diesem Zusammenhang werden auch die Begriffe "farbiges" und "weißes Rauschen" verwendet, die eine anschauliche Deutung der spektralen Dichte bieten.

Die spektrale Dichte beim "farbigen Rauschen" ist über ein relativ breites Band von Frequenzen konstant. Außerhalb dieses Bereichs fallen die Werte für die spektrale Dichtefunktion stark ab. Dieser Verlauf ist mit der Farbenlehre in der Optik entsprechend interpretierbar: bei farbigem Licht herrschen ebenfalls Frequenzen eines für die jeweilige Farbe charakteristischen Wellenlängenbereichs des Lichts vor.

Dagegen stellt das "weiße Rauschen" einen Grenzfall des "farbigen Rauschens" dar. Das oben angesprochene Frequenzband ist dabei theoretisch unendlich groß, d.h. alle Frequenzen kommen vor. Die Farbenlehre deutet das gleichzeitige Auftreten aller Wellenlängen des Lichts als weißes Licht.

Aus Erfahrungen mit Messungen von Unebenheiten bei Straßen haben sich standardisierte Straßenspektren ergeben [Braun1991]. Die relativ einfache Formulierung ermöglicht die Standardisierung und die Reduzierung auf wenige Einflussparameter.

Bei Messungen von Unebenheiten bei Straßen [Schu-91] ergab sich, dass die spektrale Dichte folgendermaßen angegeben werden kann:

(1)

mit:

; Bezugs-Wegkreisfrequenz bei der Wellenlänge

; Unebenheitsmaß; große Werte bedeuten unebenere Oberfläche

Welligkeit, große Werte bedeuten bevorzugt lange Wellen

Im doppeltlogarithmischen Koordinatensystem erscheint obige Gleichung als Gerade. Die Lage wird dabei vom Unebenheitsmaß festgelegt, die Steigung der Geraden repräsentiert die Welligkeit .

So wird es möglich, den Ebenheitszustand einer Fahrbahn durch eine Gerade zu charakterisieren. In Abbildung 8 sind die Messprotokolle dreier vermessener Fahrstraßen dargestellt. Man erkennt, dass die Messpunkte aller drei Strecken in guter Näherung als Trendlinie eine Gerade besitzen. Sie unterscheiden sich lediglich im Achsenabschnitt, die Steigungen der Geraden liegen im selben Größenordnungsbereich. Durch mathematische Umformung der Grundgleichung der spektralen Dichte lässt sich zeigen, dass für die Spektraldichte dem "weißen Rauschen" entspricht. Die plausible Erklärung liegt darin, dass bei regellosen Bodenunebenheiten alle Wellenlängen mit gleicher Häufigkeit vertreten sind. In der Literatur [Schu-91] wird als stochastische Anregungsfunktion für Fahrbahnen daher ebenfalls "weißes Rauschen" empfohlen. Zudem deckt sich dies mit den Beobachtungen an vermessenen Fahrbahnen, bei denen stets im Größenordnungsbereich von 2 (±10%) liegt.

Somit kann unter der Verwendung der spektralen Dichte der Zustand eines regellosen Bodenprofils prinzipiell mit lediglich einem Parameter beschrieben werden, nämlich dem Unebenheitsmaß , oder auch U:

Weitere Messungen [Mitschke1989] ergaben, dass sich Fahrstraßen im Bereich von U=18 (sehr schlecht) bis U=0,3 (sehr gut) bewegen. Hinsichtlich der qualitativ besseren Böden in Lagern wurde für die Untersuchung ein Bereich unterhalb U=1 angestrebt. Die Einordnung der dabei entstehenden Böden nach DIN-18185 T1 bestätigt dies.

Als zweite Anregungsart soll im Untersuchungsprogramm die Schwingungsanregung durch periodische Unebenheiten vorgesehen werden. Die im vorangegangenen Kapitel dargestellten Bodenprofile werden nun durch einfache Sinusfunktionen ersetzt. Die hier möglichen Variationsmöglichkeiten Amplitude und Wellenlänge gehen ohne mathematische Umwege in die Funktion ein:

(2)

Im Rahmen der Untersuchung wird anfänglich ein Boden mit einer Wellenlänge und einer Amplitude hinterlegt. Zur Untersuchung des Worst-Case werden linke und rechte Fahrspur ( bzw. ) gegengleich ausgeführt:

So steht einem Wellenberg links immer ein Wellental rechts gegenüber und umgekehrt. Es ist anzumerken, dass dieser Boden theoretisch nach DIN 15185 T1 alle Grenzwerte in Längs- und Querrichtung einhält. Durch Variation der Fahrgeschwindigkeit, bzw. Einstellung der kritischen Geschwindigkeit kann die Anfälligkeit des Geräts gegen Anregung mit Eigenfrequenz geprüft werden:

Zudem liefert eine Fahrt mit geringer Beschleunigung, bei der sämtliche Geschwindigkeits- und damit auch alle Anregungsfrequenzbereiche durchlaufen werden, eine Aussage darüber, ob nur die Endgeschwindigkeit für die Laufruhe bestimmend ist, oder ob schon kurzzeitige Anregungen mit Eigenfrequenz Auswirkungen haben.

Zur Untersuchung des Schwingungsverhaltens, zu dem die Bodenunebenheiten das bewegte Modell anregen, muss für die Simulation das durch das Unebenheitsmaß und die Welligkeit charakterisierte Bodenprofil in einen konkreten Höhenverlauf umgewandelt werden. Da es sich bei regellosen Unebenheiten um einen skalaren stochastischen Prozess handelt, können aus den beiden Parametern Realisierungen des stochastischen Prozesses abgeleitet werden. Man geht dabei den umgekehrten Weg wie bei der Herleitung der spektralen Dichte und nutzt wiederum die Theorie, dass der Gesamtverlauf des Höhenprofils durch eine (endlose) Reihe harmonischer Funktionen erzeugt werden kann [Schu-91]. Die spektrale Dichte stellt hinsichtlich der Frequenzen eine kontinuierliche Funktion dar, d.h. es müssten alle Frequenzen von 0 bis ∞ in infinitesimal kleinen Abständen herangezogen werden. In der Praxis müssen durch eine Diskretisierung eine überschaubare Anzahl von Frequenzen in einem sinnvollen Bereich zur Generierung des Bodenprofils herangezogen werden. Da zudem eine Beschränkung auf einen Frequenzbereich erfolgt, legt man genau genommen nun nicht mehr das Frequenzspektrum des weißen Rauschens zugrunde, sondern man nähert das weiße Rauschen durch ein adäquates farbiges Rauschen an. Die Ermittlung des relevanten Frequenzbereichs aus der Eigenfrequenzanalyse des Modells stellt sicher, dass durch die Näherung keine maßgeblichen Anregungsformen vernachlässigt werden.

Allgemein hat ein Höhenprofil, das aus einer Addition von Sinus-Funktionen im Sinne der Fourieranalyse hervorgeht, folgende Form:

(3)

mit

„Nulllage“ des Höhenprofils

Wegkreisfrequenz der n-ten Sinusfunktion

zugehörige Amplitude der n-ten Sinusfunktion

Phasenlage der n-ten Sinusfunktion

Die erforderliche Diskretisierung legt die Anzahl der summierten Sinusfunktionen fest. Man verwendet Wegkreisfrequenzbänder, innerhalb denen die spektrale Unebenheitsdichte in guter Näherung als konstant angenommen werden kann. Die in der doppeltlogarithmischen Darstellung als Gerade auftretende Unebenheitsdichte wird dadurch durch eine Treppenfunktion angenähert (Abb. 9).

Die Stufenbreite ist in der Darstellung konstant, so dass für die Grenzen und der Bänder gilt:

(4)

Das Verhältnis b wird als Bandfaktor bezeichnet. Nähert sich b dem Wert 1, so erhält man eine feinere Stufung und schmalere Bandbreiten. In der Literatur [Mitschke1989], [Schu-91] wird für b=1,1 empfohlen. Der Mittelwert eines Bandes ergibt sich aus dem geometrischen Mittel der Grenzen:

(5)

Für das nächste Band gilt:

Jedem Band wird in Abhängigkeit des zugehörigen Mittelwerts eine Amplitude für die zur Addition herangezogene Sinusfunktion ermittelt. Die Berechnungsvorschrift ergibt sich aus dem Integral für den Effektivwert der Unebenheitshöhe mit der diskretisierten Unebenheitsdichte:

(6)

mit ergibt sich für die Amplitude:

(7)

Der Wert stellt die Bezugswegkreisfrequenz dar und wird vereinbarungsgemäß mit angesetzt. Das Unebenheitsmaß wird für diese Bezugswegkreisfrequenz angegeben.

Für die Darstellung des weißen Rauschens ist es wie erwähnt theoretisch erforderlich, einen unendlich großen Frequenzbereich abzubilden. Für die praktische Handhabbarkeit beschränkt man sich auf einen endlichen Frequenzbereich, der sich an den physikalischen Erfordernissen der Untersuchung orientiert. Durch eine Eigenfrequenzanalyse am Modell werden die relevanten Zeitfrequenzbereiche hinsichtlich der Anregung ermittelt. Der in der Fahrzeugtechnik häufig gewählte Frequenzbereich von 1 bis 25 Hz ist auch für den vorliegenden Fall gut anwendbar, da er alle relevanten Eigenfrequenzen des Geräts abdeckt. Unter Berücksichtigung der minimalen und maximalen Fahrgeschwindigkeiten, die untersucht werden, ergibt sich daraus ein Wellenlängenbereich:

;

.

Einfluss auf ein mit beschriebenem Algorithmus erzeugtes Bodenprofil haben somit folgende Faktoren:

max./min. Geschwindigkeit des Geräts bei der Simulation

max./min. berücksichtigte Eigenfrequenz des Geräts

Bandfaktor b

Unebenheitsmaß , im Weiteren vereinfachend als Unebenheitsmaß U bezeichnet

Welligkeit , für regellose Böden [Braun1991]

Unter Einsatz eines Rechnertools, in dem obige Zusammenhänge hinterlegt sind und das die vorgenannten Eingabeparameter enthält, lassen sich nun auf einfache Art und Weise beliebig viele Bodenprofile zur strukturierten Simulationsdurchführung erzeugen. Das Tool errechnet die Wellenlängenbereiche, ermittelt mit dem Bandfaktor die zu addierenden Wegkreisfrequenzen, bestimmt nach angegebener Gleichung die zugehörigen Amplituden und führt die Addition der Sinusfunktionen für jeden Punkt des Bodenprofils durch, nachdem für jede Funktion eine Phasenlage per Zufallsgenerator zugeordnet wurde. Schließlich gibt es das Bodenprofil in Form von Koordinaten in einer für die Mehrkörpersimulation verarbeitbaren Formatierung aus.

MSC.ADAMS liest diese Koordinaten als Matrix mit drei Spalten (Raumkoordinaten) und einer der Anzahl der Werte entsprechenden Zeilenzahl ein.

Unter Verwendung der dargestellten Systematik zur Abbildung von Bodenunebenheiten wurden zahlreiche Simulationsläufe mit qualitativ unterschiedlichen Böden vorgenommen. Variiert wurde der Parameter "Unebenheitsmaß" , vereinfachend auch als "U" bezeichnet.

Modellkonfiguration:

Untersuchte Böden:

Als wesentliche Schwingungskomponente für den sicheren Betrieb eines Schmalgangstaplers wird im weiteren Verlauf die Querschwingung herangezogen. Zwischen den Regalen und dem Flurförderzeug ist ein Mindestabstand von 90mm einzuhalten. Eine kleine Schwingungsamplitude ist deshalb aufgrund der möglichen Regalkollision von entscheidender Bedeutung.

Die zur groben Richtungsbestimmung untersuchten ersten Böden U=0,1, U=0,4, U=0,7 ergaben einen starken Anstieg der Querschwingungsamplitude zwischen den beiden letztgenannten Unebenheitsmaßen. Aus diesem Grund wurde verfeinernd eine Untersuchung von Böden mit U=0,5, U=0,55, U=0,6 nachgeschoben.

Aus Gründen der Geheimhaltung werden in der weiteren Darstellung die maximalen Querauslenkungen nicht als Absolutgrößen angegeben, sondern es wird eine parametrisierte Form gewählt. Dabei wird der Parameter d als maximal auftretende Querschwingungsamplitude bei einer Bodenunebenheit von U=0,1 festgesetzt. Die weiterhin dargestellten Auslenkungsgrößen werden als ein Vielfaches von d angegeben.

Der Tabelle 2 ist zu entnehmen, dass die Schwingungsamplitude bei zunehmender Bodenunebenheit (zunehmendes U) ansteigt.

Als Resultat kann deshalb festgehalten werden:

Diese zweite häufig anzutreffende Form der Unebenheit wird unabhängig von den regellosen Unebenheiten betrachtet, auch wenn die gängigen Normen und Richtlinien hier keine Unterschiede machen.

Ein Bodenprofil, das unter Einhaltung der DIN 15185 T1 hinsichtlich der beiden äußeren Fahrspuren je ein Maximum der linken Sinusfunktion einem Minimum der rechten Sinusfunktion gegenüberstellt, wird mit unterschiedlichen Fahrgeschwindigkeiten durchfahren. Bei einer ersten Simulation mit 3m/s Fahrgeschwindigkeit (wie bei den Untersuchungen zu den regellosen Böden) ergibt sich bereits eine relativ hohe Querschwingungsamplitude.

Ersetzt man die konstante Fahrgeschwindigkeit durch einen linear ansteigenden Geschwindigkeitsverlauf, so werden während der Simulationszeit alle Geschwindigkeitsbereiche durchlaufen (Geschwindigkeit innerhalb 30s Simulationszeit von 1m/s auf 3m/s zunehmend). Da die Geschwindigkeit moderat gesteigert wird, sind Effekte aus der Beschleunigung zu vernachlässigen.

Anmerkung: Auch hier werden die Amplituden als Vielfaches von d (= max. Querauslenkung bei U=0,1), angegeben.

Es ist zu erkennen, dass auch schlechte regellose Böden geringere Schwingungsamplituden hervorrufen als periodische Böden. Erreicht man im Rahmen von Beschleunigungsvorgängen kurze Zeitbereiche, in denen die Periodizität des Bodens Resonanz im Gerät hervorruft, steigt die Amplitude auf das Doppelte im Vergleich zu der auf schlechtem regellosem Boden. Da die Querschwingungsamplituden erst bei Resonanz in kritischen Bereichen für Regalkollisionen liegen, bei völlig regellosen Böden jedoch weit darunter, ist anzunehmen, dass nicht die absoluten Unebenheiten eines Bodens eine Rolle bei der Schwingungsanfälligkeit des Staplers spielen, sondern dass in allen Fällen von unruhigem Lauf in der Praxis nur eine Periodizität des Bodens als Ursache in Frage kommt.

Hieraus ergibt sich eine wertvolle Erkenntnis für die Neufassung technischer Regel zur Bewertung von Bodenunebenheiten. Die ausschließliche Definition einer festen Grenze für die Tauglichkeit von Böden zum Betrieb von Schmalgangstaplern ist nicht Ziel führend. Vielmehr ist auf die Form der Bodenunebenheit zu achten. Es ist ein Verfahren zu finden, dass sowohl die periodischen als auch die regellosen Unebenheiten entsprechend gewichtet und wertet. Ähnlich wie bei der Formulierung der Anregung im Modell ist auch hier eine Betrachtung mit statistischen Mitteln viel versprechend.