Die Abbildung von Finite-Elemente-Modellen als kinematische Strukturen lässt sich anhand eines 2-Ebenen-Modells anschaulich erklären (vgl. Abb. 4). Ausgehend von einer realen Maschine wird diese in der ersten Modellebene als Starrkörperkette betrachtet. Anschließend geht man in der zweiten Ebene auf ein Finite-Elemente-Modell über.

Abbildung 4: 2-Ebenen-Modell

Im ersten Schritt der Modellierung wird das reale System in Baugruppen und Bauteile (Substrukturen) zerlegt. Diese stellen im Starrkörpermodell die beweglichen Glieder einer Starrkörperkette dar. Wie in [Webhofer04] gezeigt wird, trägt die Unterteilung des Gesamtsystems in Teilsysteme nicht nur zur Übersichtlichkeit des Modells bei, sondern reduziert in erheblichem Maße den Rechenaufwand bei der Lösung des Montageproblems.

Unter rein kinematischer Betrachtung werden die Teilkörper gemäß den realen Lagerungen, Führungen, Verbolzungen etc. durch geeignete Bindungselemente (Scharniergelenk, Linearführung, Schiebehülse, etc.) an ihren Gelenkanschlüssen im Modell miteinander verbunden. Man erhält somit einen Mechanismus mit den Bewegungsmöglichkeiten der realen Maschine (vgl. Abb. 5).

Abbildung 5: Montage des Starrkörpermodells

In dieser Phase der Modellierung ist zur Beschreibung der einzelnen Teilkörper lediglich die räumliche Anordnung der Gelenkanschlüsse von Bedeutung. Durch Lösen des Montageproblems kann jede gewünschte Stellung der Gesamtstruktur in Abhängigkeit der Bindungsparameter (Winkel, Abstände) erzeugt werden und man erhält die Position und Orientierung jedes einzelnen Bauteils.

Wie in Abbildung 6 dargestellt, wird beim Übergang von der Starrkörper- in die FE-Modell-Ebene jedes Bauteil durch ein entsprechendes Finite-Elemente-Modell ersetzt. Die räumliche Anordnung der FE-Teilmodelle zueinander ist durch die Position und Orientierung der Bauteile gegeben.

Um aus den einzelnen FE-Teilmodellen ein Gesamtmodell zu erhalten, müssen die Teilmodelle mechanisch miteinander verknüpft werden. Die kinematischen Bindungen des Starrkörpermodells werden in Koppelbedingungen der Knotenverschiebungen umgewandelt, sodass die Beweglichkeit auch in der FE-Struktur erhalten bleibt. Dies ist nur möglich, wenn in den Verbindungsstellen entsprechende Knoten zur Verfügung stehen. Als Voraussetzung dafür sind spezielle Anschlussdefinitionen in den Bauteil-Modellen vorzunehmen. Definiert man schließlich noch Lasten und Randbedingungen, so kann am Gesamtmodell eine FE-Berechnung durchgeführt werden.

Abbildung 6: : Übergang Starrkörpermodell – FE-Modell

Als Anschluss eines Körpers wird hier die Verbindung von Anschlusspunkten bezeichnet. Ein Anschlusspunkt kann dabei ein beliebiger Körperpunkt sein, der durch seinen Ortsvektor im Bauteilkoordinatensystem angegeben wird (vgl. Abb. 7).

Abbildung 7: Anschlussdefinition

Die im Folgenden benötigten Anschlüsse beschränken sich auf 1-Punkt-, 2-Punkt- und 3-Punkt-Anschlüsse. Während ein 3-Punkt-Anschluss eine Ebene aufspannt, kann der 2-Punkt-Anschluss geometrisch als Gerade gedeutet werden. Der 1-Punkt-Anschluss stellt lediglich einen Raumpunkt dar.

Abbildung 8: Anschlusstypen

Bei der Strukturmontage ist lediglich die Position und Orientierung der Bauteilanschlüsse von Bedeutung. Werden zwei Bauteile durch ein Bindungselement miteinander verbunden, so wird eine bestimmte räumliche Anordnung der beteiligten Anschlüsse durch die Bindungsgleichungen erzwungen.

Möchte man beispielsweise zwei Bauteile in Form eines Kugelgelenks (vgl. Abb. 9) miteinander verbinden, so sind zur Definition zwei 1-Punkt-Anschlüsse notwendig. Die Bindungsgleichungen des Kugelgelenks würden die Anschlusspunkte und der Bauteile und stets zur Deckung bringen, so dass gilt:

Abbildung 9: Kugelgelenk

Hinsichtlich der Verdrehung der Bauteile zueinander würde das Kugelgelenk keinerlei Einschränkungen bewirken.

Bei der Anschlussdefinition ist jedoch noch ein weiterer, wesentlicher Gesichtspunkt zu beachten. Wie bereits erwähnt, müssen nach der Strukturmontage, beim Übergang vom Starrkörpermodell zum FE-Modell, die Teilmodelle mechanisch verträglich miteinander verbunden werden. Die aus dem kinematischen Modell bekannten Bewegungsmöglichkeiten müssen auch auf die Finite-Elemente-Struktur übertragen werden, sodass die als reibungsfrei angenommenen Führungen und Lagerungen in ihren Freiheitsgraden keine Kräfte bzw. Momente übertragen.

In einem Finite-Elemente-Modell wird ein solches Gelenk mit Hilfe von Koppelbedingungen zwischen den Freiheitsgraden der Elementknoten realisiert. Als Voraussetzung muss aber gelten, dass an den Verbindungsstellen der Teilmodelle Elementknoten vorhanden sind, die sich am selben Ort befinden. Wie bereits in [Dömök95] erläutert wird, erweist sich bei der Definition von Bauteilanschlüssen die Verwendung von Elementknoten als Anschlusspunkte (vgl. Abb. 10) als sehr sinnvoll.

Abbildung 10: Anschlussdefinition im FE-Modell

In einem FE-Bauteilmodell wird ein Knoten durch seine Position im Bauteilkoordinatensystem eindeutig beschrieben. Verbindet man Elementknoten zu einem Anschluss, so kann dies durch spezielle Markierungselemente (tracelines) im FE-Modell geschehen. Dadurch wird klar, dass bereits bei der Modellierung der kinematischen Struktur die Teilkörper als FE-Modelle hinterlegt werden müssen, da bei der Definition der Bindungselemente die Anschlussdefinitionen benötigt werden.

Die Teilkörper einer kinematischen Kette können durch Gelenkverbindungen verschiedener Art miteinander verbunden werden. Dadurch werden Bewegungen in bestimmten Freiheitsgraden oder Relativbewegungen zwischen den einzelnen Gliedern zugelassen oder eingeschränkt. Die im Folgenden beschriebenen Bindungselemente gehören ausschließlich der Gruppe der holonomen Bindungen an. Somit hängen die Bindungsgleichungen lediglich von den Lagekoordinaten ab.
Mathematisch können holonome Bindungen in fast beliebiger Ausartung beschrieben werden. In technischer Hinsicht erfüllen jedoch nur wenige Ausprägungen eine sinnvolle Funktion und sind mit den konventionellen Mitteln der Produktionstechnik herstellbar. Diese Restriktionen schränken die Anzahl theoretisch möglicher Bindungselemente stark ein. Aus den verbleibenden Möglichkeiten lässt sich eine Auswahl von Standardgelenken ableiten, die nach der Anzahl ihrer Freiheitsgrade klassifiziert werden (class I joint, class II joint, …) können. In Tabelle 1 ist eine Auswahl von Standardgelenken dargestellt:

Zur Beschreibung der Position und Orientierung eines Starrkörpers können Koordinatensysteme und Transformationsmatrizen benutzt werden.

Zunächst wird gemäß Abbildung 11 ein kartesisches Koordinatensystem eingeführt, welches im Anschauungsraum als eine Basis für alle darin darzustellenden Vektoren dient. Dieses Referenzsystem wird gegenüber dem Anschauungsraum als ruhend angenommen und stellt somit ein inertiales Koordinatensystem dar, das in den weiteren Betrachtungen als Inertialsystem bezeichnet wird.

Jedem Teilkörper des Systems wird ein kartesisches Koordinatensystem zugewiesen, welches in einem Punkt fest mit dem Körper verbunden ist. Somit kann die Position des Körpers gegenüber dem Inertialsystem durch die Verschiebung von bezüglich angegeben werden. Diese Translation wird mit dem Verschiebungsvektor , gemessen in Koordinaten des Inertialsystems, ausgedrückt.

Abbildung 11: Position und Orientierung eines Starrkörpers

Zur Beschreibung der Orientierung des Körpers , gemeint ist die Verdrehung von gegenüber , werden die Euler-Parameter bzw. Quaternionen verwendet. Zur Beschreibung einer beliebigen Drehung werden in beiden Fällen vier Parameter benötigt. Im Unterschied zu den Euler-Parametern sind die Quaternionen normiert. Beide beschreiben eine beliebige Drehung im Raum durch eine geeignete normierte Drehachse und durch einen Dreh-winkel .

Abbildung 12: Drehung durch Drehachse und Drehwinkel

Abbildung 12 zeigt die Drehung eines Vektors um die Achse in die Endposition . Dabei zählt die Verdrehung um im Uhrzeigersinn positiv.

Die Quaternionen sind wie folgt definiert:

(1)

Die Parameter , und geben somit die Drehachse und den Drehwinkel an.

Zusätzlich beschreibt folgender Zusammenhang die Abhängigkeit der Quaternionen untereinander. Dabei wird sichergestellt, dass die Drehung ohne Verzerrung erfolgt.

(2)

Mit Hilfe der Quaternionen lassen sich die Vektoren und aus Abbildung 12 durch

mit der orthonormalen 3 x 3-Drehmatrix

(3)

ineinander überführen.

Die Position und Orientierung eines Körpers im Inertialsystem kann somit durch den Vektor

( 4)

eindeutig festgelegt werden. Angemerkt sei an dieser Stelle, dass die sechs Freiheitsgrade eines Starrkörpers durch die sieben Komponenten von (4) beschrieben werden. Da die Quaternionen durch (2) in Beziehung zueinander stehen, bildet kein System aus Minimalkoordinaten.

Im Folgenden wird ein Starrkörpersystem betrachtet, das aus Körpern besteht. Die Position und Orientierung eines Teilkörpers wird gemäß (4) durch die sieben Komponenten des Vektors beschrieben. Zur Angabe der geometrischen Anordnung des Gesamtsystems wird der Vektor

(5),

zusammengesetzt aus den einzelnen Vektoren der Teilkörper, verwendet. Wie in Kapitel 4.1 erläutert wird, handelt es sich hierbei nicht um einen Satz von Minimalkoordinaten, da die Quaternionen eines Körpers nicht unabhängig voneinander sind.

Die Lage der Körper relativ zueinander wird durch ein System von holonomen, nichtlinearen Bindungsgleichungen beschrieben. Sie stellen den Zusammenhang der Lageparameter her.

Man erhält ein nichtlineares Gleichungssystem der Form:

(6)

mit:

Zur eindeutigen Montage muss das System kinematisch bestimmt sein. Dadurch ergibt sich für den Freiheitsgrad des Systems die Forderung:

(7)

Es sind folglich linear unabhängige Gleichungen in das Gleichungssystem (6) einzufügen.

Dabei wird dem Umstand Rechnung getragen, dass zur Definition der sechs Freiheitsgrade eines Körpers bei Verwendung von Quaternionen sieben Parameter notwendig sind. In das Gleichungssystem sind zusätzlich zu den Bindungsgleichungen die Verträglichkeitsbedingungen (2) einzufügen.

Das Bindungsgleichungssystem (6) ist, wie nichtlineare Gleichungssysteme im Allgemeinen, nur numerisch durch iterative Näherungsverfahren lösbar. Bekanntlich können nichtlineare Gleichungssysteme mehrere Nullstellen haben, wobei jede Lösung einen Zustand (hier Stellung der kinematischen Struktur) darstellt, bei dem sämtliche Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind. Zu welcher Lösung das Näherungsverfahren strebt, hängt im Wesentlichen von den Anfangswerten zu Beginn der Iteration ab. Somit ist es bei der Montage einer kinematischen Struktur von Vorteil, wenn bereits die Ausgangslage der einzelnen Teilkörper näherungsweise der beabsichtigten Montagestellung des Systems entspricht.

Im Folgenden wird exemplarisch gezeigt, wie die Bindungsgleichungen des Kugelgelenks aus Kapitel 3.2 (vgl. Abb. 9) mathematisch formuliert werden können. Eine ausführliche Beschreibung der in Tabelle 1 aufgeführten Standardverbindungen kann in [Webhofer04] nachgelesen werden.

Mit Hilfe einer „Punkt zu Punkt“-Bedingung werden gemäß Abbildung 13 die Körperpunkte und der Körper und im Raum zur Deckung gebracht.

Abbildung 13: „Punkt zu Punkt“-Bedingung

Mathematisch wird dieser Zusammenhang durch die Gleichung

(8)

beschrieben. Führt man nun ein, bezüglich des Anschauungsraumes ruhendes, inertiales Bezugssystem ein (vgl. Kapitel 4.1), so schreibt man die Gleichung (8) in der Form:

(9)

Wie bereits in Kapitel 3.2 beschrieben, werden die kinematischen Bindungen des Starrkörpermodells mit Hilfe von Anschlüssen definiert. Dabei werden die Anschlusspunkte der Anschlüsse durch deren Ortsvektoren im körperfesten Koordinatensystem angegeben. Es ist also zweckmäßig Gleichung (9) unter zu Hilfenahme der Transformationsvorschrift

(10)

in die Form

(11)

zu überführen. Dabei beschreibt die Verdrehung des Körpers im Inertialsystem . Es gilt gemäß (3):

(12)

Verwendet man zur Beschreibung der Position und Orientierung eines Körpers den Vektor (4), dann ergeben sich aus (11) mit der Vereinfachung

(13)

die drei Komponentengleichungen zu:

(14)

(15)

(16)

Die holonomen Bindungsgleichungen (14) bis (16) legen lediglich die Position der beiden Anschlusspunkte und zueinander fest. Die beiden Körper und können sich jedoch frei um den gemeinsamen Kopplungspunkt gegeneinander verdrehen, was sich anhand eines einfachen Beispiels anschaulich zeigen lässt. Würden beide Körper im Ursprung ihrer Basis und miteinander verbunden, so würden und zu .

Die Bindungsgleichung (11) würde sich dann reduzieren zu:

mit (17)

Die Quaternionen der beiden Körper, welche die Orientierung beschreiben, kommen in (17) nicht vor und unterliegen dadurch auch keinerlei Einschränkungen. Eine „Punkt zu Punkt“-Bedingung schränkt mit ihren drei Bindungsgleichungen drei Freiheitsgrade des Systems ein.

Bei der hier vorgestellten Methode zur Abbildung von Finite-Elemente-Modellen als kinematische Strukturen können reale Systeme nach dem Baukastenprinzip aufgebaut werden. Das Gesamtsystem wird in Baugruppen und Bauteile (Substrukturen) zerlegt. Im Unterschied zu dem in [Löw93] vorgestellten Konzept kann jede Baugruppe ihrerseits weitere Baugruppen und Bauteile enthalten. Als Ergebnis entsteht eine beliebig tief geschachtelte, hierarchisch gegliederte Struktur, die baumartig durchlaufen und bearbeitet werden kann.

Wie in [Webhofer04] gezeigt wird, trägt der Aufbau des Gesamtsystems als Baumstruktur nicht nur zur Übersichtlichkeit des Modells bei, sondern reduziert in erheblichem Maße den Rechenaufwand bei der Montage. Abbildung 14 zeigt beispielhaft den hierarchischen Aufbau eines Gittermast-Fahrzeugkrans in „Hauptausleger mit Superlift“-Konfiguration, dessen Strukturbaum aus den Ebenen I, II, III und IV besteht.

In der ersten Ebene befindet sich lediglich der Wurzelknoten des Baumes, ein Platzhalter für das Gesamtmodell. Die zweite Ebene setzt sich zum Beispiel aus verschiedenen Bauteilen (Unterwagen, Oberwagen, Abspannbock etc.) und zwei Baugruppen (Superliftmast und Hauptausleger) zusammen. Die Baugruppe „Hauptausleger“ besteht ihrerseits aus fünf Bauteilen (Fußstück, Zwischenstück 6m, Zwischenstück 12m, etc.) und einer weiteren Baugruppe „Kopf“.

Abbildung 14: Hierarchischer Aufbau eines Gittermast-Fahrzeugkrans

Mit Hilfe des hier beschriebenen mathematischen Verfahrens lässt sich ein Starrkörpersystem, bestehend aus beliebig vielen Teilkörpern, entsprechend den kinematischen Bindungen montieren. Die Bindungsgleichungen werden dabei in Koordinaten eines inertialen Bezugssystems formuliert. Jede Baugruppe und der Wurzelknoten besitzen ein solches Bezugssystem, so dass jede Baugruppe für sich autonom montiert werden kann.

Dafür müssen folgende Voraussetzungen erfüllt sein:

Zur Montage des Gesamtsystems wird die Baumstruktur Ebene für Ebene durchlaufen (vgl. Abb. 15). Ausgehend von der niedersten Ebene, im Beispiel aus Abbildung 14 entspricht dies der Ebene IV, wird jede Baumebene nach Baugruppenknoten durchsucht. Trifft man auf eine Baugruppe, so wird diese zusammengebaut. Erst wenn alle Baugruppen einer Ebene erfolgreich vormontiert werden konnten, kann der Montagealgorithmus versuchen, die nächst höher liegende Ebene zu montieren.

Da eine Baugruppe bei der Vormontage zwar in sich montiert werden kann, jedoch aufgrund der fehlenden Bindungen mit den Baugruppen der nächst höher liegenden Ebenen sich als Ganze im Raum frei bewegen kann, wird ein Bauteil der Baugruppe durch eine automatisch generierte Bindung im Raum festgehalten. Nach erfolgreicher Vormontage wird diese Bindung wieder entfernt.

Abbildung 15: Procedere bei der Montage des Gesamtsystems

Diese schrittweise, baugruppenorientierte Montage des Gesamtsystems erweist sich auch bei fehlerhaft definierten Systemen als sehr sinnvoll, da eine unzureichend kinematisch bestimmte Baugruppe sofort identifiziert und lokalisiert werden kann.